Question

【題目】對于由有限個自然數組成的集合A，定義集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，記集合S（A）的元素個數為d（S（A））．定義變換T，變換T將集合A變換為集合T（A）=A∪S（A）．

（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；

（2）若集合A有n個元素，證明：“d（S（A））=2n-1”的充要條件是“集合A中的所有元素能組成公差不為0的等差數列”；

（3）若A{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}T（T（A）），求元素個數最少的集合A．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據定義直接進行計算即可

（2）根據充分條件和必要條件的定義結合等差數列的性質進行證明

（3）首先證明：1∈A，然后根據條件分別判斷A中元素情況即可得到結論．

（1）若集合A={0，1，2}，則S（A）=T（A）={0，1，2，3，4}．

（2）令．不妨設．

充分性：設是公差為的等差數列．

則

且．所以共有2n-1個不同的值．即d（S（A））=2n-1．

必要性：若d（S（A））=2n-1．

因為．

所以S（A）中有2n-1個不同的元素：

任意（1≤i，j≤n） 的值都與上述某一項相等．

又，且．

所以，所以是等差數列，且公差不為0．

（3）首先證明：1∈A．假設1A，A中的元素均大于1，從而1S（A），

因此1T（A），1S（T（A）），故1T（T（A）），與{1，2，3，…，25，26}T（T（A））矛盾，因此1∈A．

設A的元素個數為n，S（A）的元素個數至多為C+n，從而T（A）的元素個數至多為C+n+n=．

若n=2，則T（A）元素個數至多為5，從而T（T（A））的元素個數至多為=20，

而T（T（A））中元素至少為26，因此n≥3．

假設A有三個元素，設，且，

則1，2，，，

從而1，2，3，4∈T（T（A））．若，T（T（A））中比4大的最小數為，則5T（T（A）），與題意矛盾，故≤5．

集合T（T（A））．中最大數為，由于26∈T（T（A）），故≥26，從而≥7，

（i）若A={1，a2，7}，且≤5．此時1，2，，+1，7，8，2，7+，14∈T（A），則有8+14=22，2×14=28∈T（T（A）），在22與28之間可能的數為14+2，21+．

此時23，24，25，26不能全在T（T（A））．中，不滿足題意．

（ii）若A={1，，8}，且≤5．此時1，2，，+1，8，9，2，8+，16∈T（A），則有16+9=25∈T（T（A）），

若26∈T（T（A）），則16+2=26或16+（8+）=26，

解得=5或=2．

當A={1，2，8}時，15，21，23T（T（A））．不滿足題意．

當A={1，2，8}時，

T（T（A））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，滿足題意．

故元素個數最少的集合A為{1，5，8}