Question

設函數f（x）=sinx•cosx-

3

cos（π+x）•cosx（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函數y=f（x）的圖象向右、向上分別平移

π

4

、

3

2

個單位長度得到y=g（x）的圖象，求y=g（x）在（0，

π

4

]的值域．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的求值

分析：（1）利用倍角公式、兩角和差的正弦公式、周期公式即可得出；
（2）利用三角函數變換可得y=g（x）=sin(2(x-

π

4

)+

π

3

)+

3

2

+

3

2

=sin(2x-

π

6

)+

3

，再利用正弦函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）函數f（x）=sinx•cosx-

3

cos（π+x）•cosx=

1

2

sin2x+

3 (1+cos2x)

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

．
∴T=

2π

2

=π．
（2）函數y=f（x）的圖象向右、向上分別平移

π

4

、

3

2

個單位長度得到y=g（x）=sin(2(x-

π

4

)+

π

3

)+

3

2

+

3

2

=sin(2x-

π

6

)+

3

．
∵x∈（0，

π

4

]，∴(2x-

π

6

)∈(-

π

6

，

π

3

]，
∴sin(2x-

π

6

)∈(-

1

2

，

3

2

]，
∴g（x）∈(

3

-

1

2

，

3 3

2

]．

點評：本題考查了倍角公式、兩角和差的正弦公式、周期公式、三角函數變換、正弦函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．