Question

【題目】已知函數（，為自然對數的底數），是的導函數．

（Ⅰ）當時，求證：；

（Ⅱ）是否存在正整數，使得對一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（2）2.

【解析】試題分析: （1）根據已知條件求出，設.根據得出在上為增函數，即可得證.

（2）令，則只能取或.當時，設，求出.由得在上是減函數，在是增函數，即.故對一切恒成立.

試題解析：（Ⅰ）當時，，則

令，則

令，得，故在時取得最小值

∵，∴在上為增函數．

∴．

（Ⅱ），

由，得對一切恒成立

當時，可得，所以若存在，則正整數的值只能取1,2

下面證明當時，不等式恒成立

設，則

由（Ⅰ） ∴

∴當時，；當時，

即在上是減函數，在上是增函數

∴

當時，不等式恒成立

所以的最大值是22．