Question

【題目】正四棱柱中，底面的邊長為1，為正方形的中心.

（1）求證：平面；

（2）若異面直線與所成的角的正弦值為，求直線到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）通過證明四邊形一組對邊平行且相等，得出四邊形是平行四邊形，從而得出另一組對邊平行，得出線線，即可證出線面；

（2）法一：通過已知異面直線與所成的角的正弦值為，可求出正方體的高，由（1）得出平面，將直線到平面的距離轉化成點到面的距離，即點到平面的距離，再利用線面垂直的判定和性質，證出平面，所以在直角三角形中，求出的值，即可得出所求答案；

法二：直線到平面的距離轉化成點到面的距離，即點到平面的距離，再利用三棱錐等體積法求點到面的距離，即，化簡便可求出結果.

（1）連接，交于點，連接，交于點，連接，

正四棱柱中，，且，又因為點、分別為、的中點，

所以，且，

則四邊形為平行四邊形，故，

又不在平面內，在平面內，

故平面.

（2）由（1），，故異面直線與所成的角等于，

因為正四棱柱中，側棱底面，則，

又，則平面，則.

因正方形的邊長為1，則.

得，則.

因為平面，則直線到平面的距離等于點到平面的距離，

又為的中點，則點到平面的距離等于點到平面的距離，

在三角形內作，因為平面，

則平面平面，故平面.

直角三角形中，，，，

則.

則直線到平面的距離為.

方法二（等體積法）：

因為平面，則直線到平面的距離等于點到平面的的距離，

又為的中點，則點到平面的距離等于點到平面的距離，

設點到平面的距離為，由，

，且，，.

求得.則直線到平面的距離為.