Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上的點M（x0 ， y0）到點N（2，0）距離的最小值為 ．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若x0＞2，圓E（x﹣1）2+y2=1，過M作圓E的兩條切線分別交y軸A（0，a），B（0，b）兩點，求△MAB面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解： ，∵ ，

∴ = ．

∵x0≥0，所以當2﹣p≤0即p≥2時，|MN|min=2，不符合題意，舍去；

所以2﹣p＞0即0＜p＜2時， ，

∴（2﹣p）2=1，∴p=1或p=3（舍去），∴y2=2x

（2）

解：由題意可知， ，所以直線MA的方程為 ，即（y0﹣a）x﹣x0y+ax0=0，

∴ ，∴ ，整理得：a2（x0﹣2）+2ay0﹣x0=0，

同理： ，∴a，b為方程 的兩根，

∴ ，∴ ，∴ ，

∵x0＞2，∴ = ，當且僅當x0=4時，取最小值．

∴當x0=4時，△MAB面積的最小值為8

【解析】（1） = ．可得2﹣p＞0即0＜p＜2時， ，可得p即可．（2）由題意可知直線MA的方程為 ，即（y0﹣a）x﹣x0y+ax0=0，由直線與圓相切得：a2（x0﹣2）+2ay0﹣x0=0，
同理： ，∴a，b為方程 的兩根，
即 = ，即可得△MAB面積的最小值．