Question

給出下列命題：
①存在實數x，使sinx+cosx=

5

4

；
②若α，β 是第一象限角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
③函數y=sin（

2

3

x+

π

2

）是偶函數；
④函數y=sin 2x的圖象向左平移

π

4

單位，得到函數y=sin（2x+

π

4

）的圖象．
其中正確命題的序號是

 

．（把正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：簡易邏輯

分析：分析sinx+cosx的取值范圍，可判斷①；舉出反例α=390°，β=30°，可判斷②；利用誘導公式化簡函數解析式，結合偶函數的定義，可以判斷③；利用函數圖象的平移變換法則，求出平移后的函數解析式，可判斷④．

解答： 解：sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，而

5

4

∈[-

2

，

2

]，故①正確；
α=390°，β=30°，是第一象限角，且α＞β，則cosα=cosβ，故②錯誤；
③函數y=sin（

2

3

x+

π

2

）=cos

2

3

x，滿足f（-x）=f（x）是偶函數，故③正確；
函數y=sin 2x的圖象向左平移

π

4

單位，得到函數y=sin2（x+

π

4

）=sin（2x+

π

2

）的圖象，故④錯誤．
故正確的命題有①③，
故答案為：①③

點評：本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了三角函數的值域，單調性，奇偶性是平移變換，是三角函數的綜合應用，難度中檔．