Question

已知函數f（x）=x²+（a+1）x-b²-2b，且f（x-1）=f（2-x），又知f（x）≥x恒成立．求：
（1）y=f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=log₂[f（x）-x-1]，求函數g（x）的單調區間．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（x-1）=f（2-x），得出f（x）的對稱軸，求出a的值，再由f（x）≥x恒成立，△≤0，求出b的值即可；
（2）求出g（x）的解析式，利用復合函數的單調性，判斷g（x）的單調性與單調區間．

解答： 解：（1）∵f（x-1）=f（2-x），
∴f（x）的對稱軸為x=

1

2

；  …（1分）
又∵函數f（x）=x²+（a+1）x-b²-2b，
∴-

a+1

2

=

1

2

，
解得a=-2，
∴f（x）=x²-x-b²-2b；  …（1分）
又∵f（x）≥x恒成立，
即x²-x-b²-2b≥x恒成立，
也即x²-2x-b²-2b≥0恒成立；
∴△=（-2）²-4（-b²-2b）≤0，…（1分）
整理得b²+2b+1≤0，
即（b+1）²≤0；
∴b=-1，…（2分）
∴f（x）=x²-x+1；   …（1分）
（2）∵g（x）=log₂[x²-x+1-x-1]=log₂（x²-2x），…（1分）
令u=x²-2x，則g（u）=log₂u；
由u=x²-2x＞0，得x＞2或x＜0，…（2分）
當x∈（-∞，0）時，u=x²-2x是減函數，
當x∈（2，+∞）時，u=x²-2x是增函數；  …（2分）
又∵g（u）=log₂u在其定義域上是增函數，…（1分）
∴g（x）的增區間為（2，+∞），減區間為（-∞，0）．   …（2分）

點評：本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，也考查了不等式恒成立的應用問題，是綜合性題目．