Question

在拋物線y²=2x上求一點(diǎn)P，使其到直線l：x+y+4=0的最距離最小，并求最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（x，y）為該拋物線上任一點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線間的距離公式可求得點(diǎn)P到直線x+y+4=0的距離d的關(guān)系式，并求得d_min．

解答： 解：設(shè)P（x，y）為該拋物線上任一點(diǎn)，那么y²=2x，
則點(diǎn)P到直線的距離d=

|x+y+4|

2

=

2

4

[（y+1）²+7]≥

7 2

4

，當(dāng)且僅當(dāng)y=-1時(shí)，取“=”．
此時(shí)點(diǎn)P（

1

2

，-1）．
即拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（

1

2

，-1）時(shí)，點(diǎn)P到直線x+y+4=0的距離最短，最小值為

7 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線間的距離公式與兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題．