Question

在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線l的參數方程為

x=t y=at

，（t為參數），曲線C₁的方程為ρ（ρ-4sinθ）=12，定點A（6，0），點P是曲線C₁上的動點，Q為AP的中點．
（1）求點Q的軌跡C₂的直角坐標方程；
（2）直線l與直線C₂交于A，B兩點，若|AB|≥2

3

，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）首先，將曲線C₁化為直角坐標方程，然后，根據中點坐標公式，建立關系，從而確定點Q的軌跡C₂的直角坐標方程；
（2）首先，將直線方程化為普通方程，然后，根據距離關系，確定取值范圍．

解答： 解：（1）根據題意，得
曲線C₁的直角坐標方程為：x²+y²-4y=12，
設點P（x′，y′），Q（x，y），
根據中點坐標公式，得

x′=2x-6 y′=2y

，代入x²+y²-4y=12，
得點Q的軌跡C₂的直角坐標方程為：（x-3）²+（y-1）²=4，
（2）直線l的普通方程為：y=ax，根據題意，得

|3a-1|

a2+1

≤

22-( 3 )2

，
解得實數a的取值范圍為：[0，

3

4

]．

點評：本題重點考查了圓的極坐標方程、直線的參數方程，直線與圓的位置關系等知識，考查比較綜合，屬于中檔題，解題關鍵是準確運用直線和圓的特定方程求解．