Question

（08年廈門外國語學校模擬）（14分）設函數滿足，且對任意，都有

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若數列滿足：（），且，

求數列的通項公式；

（Ⅲ）求證：

Answer 1

解析：（Ⅰ）解法一：∵.

∴令得 ……………………………2分

再令得， 所以………4分

解法二：∵對任意，都有

∴………………………………………………2分

∴即

令得……………………………………………………4分

（Ⅱ）∵，∴, …………5分

∴又

∴數列是公比為3的等比數列  ………………………………………………7分

，即         ………………………………………8分

（Ⅲ）∵，∴T=  

…

…………………………………………10分

另一方面：因為， ………12分

所以   

綜上可得命題成立.  …………………………………………………………………… 14分

（Ⅲ）證法二：

=