Question

已知函數 f（x）=

x2

ex

，
（Ⅰ）求函數 f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若方程 f（x）=m有且只有一個解，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）當x₁≠x₂且x₁，x₂∈（-∞，2]時，若有f（x₁）=f（x₂），求證：x₁+x₂＞0．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導f′（x）=

2x-x2

ex

=

x(2-x)

ex

，從而判斷導數的正負，再確定函數的單調區間；
（Ⅱ）求出函數的極值，結合函數的圖象，從而求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）由題意，不妨設x₁＜0＜x₂，則可得

x12

ex1

=

x 2 2

ex2

，從而化簡出

x 2 2

x 2 1

=ex2•e-x1，從而證明．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

2x-x2

ex

=

x(2-x)

ex

，
當x＜0或x＞2時，f′（x）＜0，當0＜x＜2時，f′（x）＞0；
故函數 f（x）的單調增區間為（0，2），
單調減區間為（-∞，0），（2，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f_極小值（x）=f（0）=0；
f_極大值（x）=f（2）=

4

e2

；結合函數圖象可知，
m＞

4

e2

或m=0時，方程 f（x）=m有且只有一個解，
即實數m的取值范圍為m＞

4

e2

或m=0；
（Ⅲ）證明：
由題意，不妨設x₁＜0＜x₂，
則由f（x₁）=f（x₂）可得，

x12

ex1

=

x 2 2

ex2

，
則

x 2 2

x 2 1

=ex2•e-x1，
∵x₁＜0＜x₂，
∴-x₁＞0，
∴ex2•e-x1＞1，
∴(

x2

-x1

)2＞1，
∴

x2

-x1

＞1，
即x₂＞-x₁，
即x₁+x₂＞0．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了不等式的證明，屬于難題．