Question

設函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=x²+4x+5，g（x）的導函數(shù)為g'（x）（e為自然對數(shù)底數(shù)）．
（Ⅰ）若函數(shù)-ag'（x）+4a有最小值0，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）記h（x）=f（x+2n）-ng（x）（n為常數(shù)），若存在唯一實數(shù)x，同時滿足：（i）x是函數(shù)h（x）的零點；（ii）h′（x）=0．試確定x、n的值，并證明函數(shù)h（x）在R上為增函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出y的表達式，利用求導數(shù)方法研究其單調(diào)性，確定最小值，令其為0，解方程求出參數(shù)值．
（Ⅱ）：（i）x是函數(shù)h（x）的零點；（ii）h′（x）=0這兩個條件給出了兩個方程，利用此兩方程即可解出x、n的值，由此求出函數(shù)h（x）的解析式，再利用導數(shù)為正，證明其是增函數(shù)．
解答：解（Ⅰ）∵，
當a≤0時，y'＞0，函數(shù)在R上為增函數(shù)，故沒有最小值，∴a＞0（2分）
此時由2e^2x-1-2a=0得：x=（lna+1），且x＞（lna+1）時，y'＞0
x＜x＞（lna+1）時，y'＜0，
∴x∈（-∞，（lna+1））時，函數(shù)為減函數(shù)，
x∈（（lna+1），+∞）時，函數(shù)為增函數(shù)，
∴
（Ⅱ）∵h（x）=e^x+2n-n（x²+4x+5），∴h'（x）=e^x+2n-2nx-4n，
∵，
∴nx²+4nx+5n=2nx+4n由（1）知n≠0，∴2x+4=x²+4x+5，∴（x+1）²=0∴x=-1（9分）
代入（1）有e^2n-1-2n=0，由第（I）小題知，A、=1時，函數(shù)∴∵，R'（x）=e^x+1-1，（12分）
∴x≥-1時，R'（x）≥0，x＜-1時，R'（x）＜0x=-1時，R（x）_min=0，∴x∈R，R（x）≥0，僅當x=-1時R（x）=0∴h'（x）≥0在R上恒成立，且僅當x=-1時h'（x）=0，∴h（x）在R上為增函數(shù)（14分）
點評：考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求最值，本題運算量較大，繁瑣．