Question

設函數f（x）=x³+2ax²+bx+a，g（x）=x²-3x+2，其中x∈R，a、b為常數，已知曲線y=f（x）與y=g（x）在點（2，0）處有相同的切線l．
（Ⅰ） 求a、b的值，并寫出切線l的方程；
（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三個互不相同的實根0、x₁、x₂，其中x₁＜x₂，且對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x-1）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I） 利用曲線y=f（x）與y=g（x）在點（2，0）處有相同的切線l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即為關于a、b的方程，解方程即可．
（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三個互不相同的實根轉化為x₁，x₂是x²-3x+2-m=0的兩相異實根．求出實數m的取值范圍以及x₁，x₂與實數m的關系，再把f（x）+g（x）＜m（x-1）恒成立問題轉化為求函數f（x）+g（x）-mx在x∈[x₁，x₂]上的最大值，綜合在一起即可求出實數m的取值范圍．

解答：解：（I） f'（x）=3x²+4ax+b，g'（x）=2x-3．
由于曲線y=f（x）與y=g（x）在點（2，0）處有相同的切線l．
故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．
由此得

8+8a+2b+a=0 12+8a+b=1

，解得

a=-2 b=5

，
所以a=-2，b=5..切線的方程為x-y-2=0．
（II）由（I）得f（x）=x³-4x²+5x-2，所以f（x）+g（x）=x³-3x²+2x．
依題意，方程x（x²-3x+2-m）=0，有三個互不相等的實根0，x₁，x₂，
故x₁，x₂是x²-3x+2-m=0的兩相異實根．
所以△=9-4（2-m）＞0，解得m＞-

1

4

．
又對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x-1）恒成立，
特別地取x=x₁時，f（x₁）+g（x₁）＜m（x₁-1）成立，得m＜0．
由韋達定理得x₁+x₂=3＞0，x₁x₂=2-m＞0．故0＜x₁＜x₂．
對任意的x∈[x₁，x₂]，x-x₂≤0，x-x₁≥0，x＞0．
則f（x）+g（x）-mx=x（x-x₁）（x-x₂）≤0，又f（x₁）+g（x₁）-mx₁=0．
所以f（x）+g（x）-mx在x∈[x₁，x₂]上的最大值為0．
于是當m＜0，對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x-1）恒成立，
綜上得：實數m的取值范圍是（-

1

4

，0）．

點評：本題主要考查函數，導數，不等式等基礎知識，同時考查綜合運用數學知識進行推理論證的能立，以及函數與方程和特殊與一般的思想．