Question

（本題滿分16分）已知等差數列，其前項和為.若,．

（1）求數列的通項公式；

（2）對任意，將數列中落入區間內的項的個數記為；

①求數列的通項公式；

②記，數列的前項和為，求所有使得等式成立的正整數，．

 

Answer 1

（１）；（２）； ．

【解析】

試題分析：（１）由于這是一個特殊數列等差數列，根據題中所給兩個條件采用回歸基本量的構造方程組的方法即可求【解析】
由，化簡可得：，又由，化簡可得： ，聯立方程組卻可求解；（２）①由（1）中所求數列的通項代入到題中所要求的區間內可得：，對其化簡可得：，由于n的整數特性即可得：，則易求出：；②利用前面所求不難表示出：，這樣它就是一個新的等比數列，由求和公式易得：，將它代入已知：，得，化簡得，即，即，利用，可得，所以，，所以或或．對這三個數我們采用代入檢驗的方法即可取舍.

綜上可知，存在符合條件的正整數．

試題解析：（１），即；

；

所以，；

（２）

；

得；

；

得，

由，得，化簡得，

即，即．

因為，所以，所以，

因為，所以或或．

當時，由（*）得，所以無正整數解；

當時，由（*）得，所以無正整數解；

當時，由（*）得，所以．

綜上可知，存在符合條件的正整數．

考點：1.等差數列的基本量；2.等比數列的基本量；3.數列與不等式的綜合