Question

【題目】設函數，，其中,是自然對數的底數.

（1）設，當時，求的最小值；

（2）證明：當，時，總存在兩條直線與曲線與都相切；

（3）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）最小值（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）求出的解析式，求導求單調性，然后則可求出最小值.（2）總存在兩條直線與曲線與都相切，及與永遠都存在兩條公切線，分別設出切點求出切線方程，根據切線方程為同一條，列出方程組求解，證明等式恒成立即可. （3）即證明當時，.令，求導求令的最小值大于0即可.

解：（1），，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增，

故時，取得最小值.

（2）∵，

∴在點處的切線方程為；

∵，

∴在點處的切線方程為.

由題意得，則.

令，則，

由（1）得時，單調遞增，又，時，，

∴當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

由（1）得，

又，

，所以函數在和內各有一個零點，

故當時，總存在兩條直線與曲線與都相切.

（3）.

令，以下證明當時，的最小值大于0.

求導得.

①當時，，；

②當時，，

令，，

又，取且使，即，

則，

∵,故存在唯一零點，

即有唯一的極值點且為極小值點，又，

且，即，故，

∵，故是上的減函數.

∴,所以.

綜上，當時，.