Question

已知數列{x_n}滿足x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，n∈N^*．猜想數列{x_2n}的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法,推理和證明

分析：求出數列的前幾項，利用數學歸納法進行證明即可．

解答： 解：由x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，
得x₂=

2

3

，x₄=

5

8

，x₆=

13

21

，
由x₂＞x₄＞x₆，猜想：數列{x_2n}是遞減數列．                         …（4分）
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，已證命題成立．
（2）假設當n=k時命題成立，即x_2k＞x_2k+2，易知x_k＞0，
那么x_2k+2-x_2k+4=

1

1+x2k+1

-

1

1+x2k+3

=

x2k+3-x2k+1

(1+x2k+1)(1+x2k+3)

=

1 1+x2k+2 - 1 1+x2k

(1+x2k+1)(1+x2k+3)

=

x2k-x2k+2

(1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3)

＞0，
即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2，
也就是說，當n=k+1時命題也成立．
結合（1）和（2）知命題成立．                                     …（12分）

點評：本題主要考查數列單調性的判斷，利用數學歸納法是證明本題的關鍵，要求熟練掌握歸納法的方法和步驟．