Question

【題目】已知函數f（x）=2ax2+bx+1（e為自然對數的底數）．
（1）若 ，求函數F（x）=f（x）ex的單調區間；
（2）若b=e﹣1﹣2a，方程f（x）=ex在（0，1）內有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a= ，F（x）=（x2+bx+1）ex，

則F′（x）=（2x+b）ex+（x2+bx+1）ex=[x2+（b+2）x+b+1]ex=（x+1）[x+（b+1）]ex，

由F′（x）=0得（x+1）[x+（b+1）]=0，即x=﹣1或x=﹣（b+1），

①若b+1=1，即b=0時，F′（x）=（x+1）2ex≥0，此時函數單調遞增，單調遞增區間為（﹣∞，+∞），

②若﹣（b+1）＜﹣1，即b＞0時，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，即x＞﹣1或x＜﹣（b+1），

此時函數單調遞增，單調遞增區間為（﹣∞，﹣（b+1）），（﹣1，+∞），

由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，即﹣（b+1）＜x＜﹣1，

此時函數單調遞減，單調遞減區間為（﹣（b+1），﹣1），

③若﹣（b+1）＞﹣1，即b＜0時，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，解得：x＞﹣（b+1）或x＜﹣1，

此時函數單調遞增，單調遞增區間為（﹣∞，﹣1），（﹣（b+1），+∞），

由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，解得：﹣1＜x＜﹣（b+1），

此時函數單調遞減，單調遞減區間為（﹣1，﹣（b+1））

（2）解：方程f（x）=ex在（0，1）內有解，即2ax2+bx+1=ex在（0，1）內有解，

即ex﹣2ax2﹣bx﹣1=0，

設g（x）=ex﹣2ax2﹣bx﹣1，

則g（x）在（0，1）內有零點，

設x0是g（x）在（0，1）內的一個零點，

則g（0）=0，g（1）=0，知函數g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能單調遞增，也不可能單調遞減，

設h（x）=g′（x），

則h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零點，

即h（x）在（0，1）上至少有兩個零點，

g′（x）=ex﹣4ax﹣b，h′（x）=ex﹣4a，

當a≤ 時，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上遞增，h（x）不可能有兩個及以上零點，

當a≥ 時，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上遞減，h（x）不可能有兩個及以上零點，

當 ＜a＜ 時，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），

則h（x）在（0，ln（4a））上遞減，在（ln（4a），1）上遞增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．

若h（x）有兩個零點，則有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，

h（ln（4a））=4a﹣4aln（4a）﹣b=6a﹣4aln（4a）+1﹣e， ＜a＜ ，

設φ（x）= x﹣xlnx+1﹣x，（1＜x＜e），

則φ′（x）= ﹣lnx，

令φ′（x）= ﹣lnx=0，得x= ，

當1＜x＜ 時，φ′（x）＞0，此時函數φ（x）遞增，

當 ＜x＜e時，φ′（x）＜0，此時函數φ（x）遞減，

則φ（x）max=φ（ ）= +1﹣e＜0，

則h（ln（4a））＜0恒成立，

由h（0）=1﹣b=2a﹣e+2＞0，h（1）=e﹣4a﹣b＞0，

得 ＜a＜ ，

當 ＜a＜ 時，設h（x）的兩個零點為x1，x2，則g（x）在（0，x1）遞增，

在（x1，x2）上遞減，在（x2，1）遞增，

則g（x1）＞g（0）=0，

g（x2）＜g（1）=0，

則g（x）在（x1，x2）內有零點，

綜上，實數a的取值范圍是（ ， ）

【解析】（1）若a= ，求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系即可求函數f（x）的單調區間；（2）根據函數與方程之間的關系轉化為函數存在零點問題，構造函數，求函數的導數，利用函數極值和函數零點之間的關系進行轉化求解即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的零點與方程根的關系的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點才能正確解答此題．