Question

【題目】(2017·成都一診)已知橢圓的右焦點為F，設直線l：x＝5與x軸的交點為E，過點F且斜率為k的直線l1與橢圓交于A，B兩點，M為線段EF的中點．

(1)若直線l1的傾斜角為，求△ABM的面積S的值；

(2)過點B作直線BN⊥l于點N，證明：A，M，N三點共線．

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析

【解析】試題分析:(1)根據點斜式求得直線l1的方程，代入橢圓方程，根據韋達定理解得|y1－y2| ，最后根據三角形面積公式S△ABM＝·|FM|·|y1－y2|得 結果(2)由三點共線，利用兩點斜率公式得y2(3－x1)=2(－y1)，代入直線方程化簡得k[x1x2－3(x1＋x2)＋5]=0，聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理可得等式成立，即證得結果

試題解析：解：(1)由題意，知F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．

設A(x1，y1)，B(x2，y2)．

∵直線l1的傾斜角為，∴k＝1.

∴直線l1的方程為y＝x－1，即x＝y＋1.

代入橢圓方程消去x，可得9y2＋8y－16＝0.

∴y1＋y2＝－，y1y2＝－.

∴S△ABM＝·|FM|·|y1－y2|＝

＝＝.

(2)證明：設直線l1的方程為y＝k(x－1)．

代入橢圓方程消去y，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0，

則x1＋x2＝，x1x2＝.

∵直線BN⊥l于點N，∴N(5，y2)．

∴kAM＝，kMN＝.

而y2(3－x1)－2(－y1)

＝k(x2－1)(3－x1)＋2k(x1－1)

＝－k[x1x2－3(x1＋x2)＋5]

＝－k

＝0，

∴kAM＝kMN，故A，M，N三點共線．