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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
精英家教網如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，E是△BCD內部任意一點，AE與BD交于點F，則
AF
•
BF
的最小值是
 
．
分析：根據已知條件，設
AF
=t
AB
+（1-t）
AD
，0＜t＜1，則
BF
=
AF
-
AB
=（1-t）（
AD
-
AB
），由此利用配方法能求出
AF
•
BF
的最小值．
解答：解：∵在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，
∴
AB
•
AD
=|
AB
|×|
AD
|×cos60°=4×4×
1
2
=8，
|
AB
|2 =|
AD
|2=16，
設
AF
=t
AB
+（1-t）
AD
，0＜t＜1，
則
BF
=
AF
-
AB
=（1-t）（
AD
-
AB
），
∴
AF
•
BF
=（1-t）[t
AB
+（1-t）
AD
]（
AD
-
AB
）
=（1-t）[（1-t）
AD
2-t
AB
2+（2t-1）
AB
•
AD
]
=（1-t）[16（1-2t）+8（2t-1）]
=16（1-t）（
1
2
-t）
=16（t-
3
4
）2-1≥-1，
∴
AF
•
BF
的最小值是-1．
故答案為：-1．
點評：本題考查向量數量積的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意數形結合思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，E、F分別是AB與PD的中點．
（Ⅰ）求證：PC⊥BD；
（Ⅱ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在菱形ABCD中，MA⊥平面ABCD，且四邊形ADNM是平行四邊形．
（1）求證：AC⊥BN；
（2）當點E在AB的什么位置時，使得AN∥平面MEC，并加以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中點，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，AD=2，AM=
3
7
7
．
（1）求證：AC⊥BN；
（2）求證：AN∥平面MEC；
（3）求二面角M-EC-D的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•大豐市一模）如圖，在菱形ABCD中，E是AB的中點，且DE⊥AB．
（1）求∠ABD的度數；
（2）若菱形的邊長為2，求菱形的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，點N為CD中點，PA⊥平面ABCD．
（I）求證：CD⊥平面PAN；
（II）若點M為PC中點，AB=1，PA=
3
，求直線AM與平面PCD所成角的正弦值．

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同步練習冊答案
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