Question

已知拋物線y²=2x，直線l過點（0，2）與拋物線交于M，N兩點，以線段MN的長為直徑的圓過坐標原點O，求直線l的方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設直線l的方程為y=kx+2，（k≠0）M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與拋物線的方程聯立可得k²x²+（4k-2）x+4=0，由△＞0，解得k＜

1

4

．由于以線段MN的長為直徑的圓過坐標原點O，可得

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，把根與系數的關系代入可得k．

解答： 解：設直線l的方程為y=kx+2，（k≠0）M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯立

y=kx+2 y2=2x

，化為k²x²+（4k-2）x+4=0，
△=（4k-2）²-16k²＞0，解得k＜

1

4

．
∴x1+x2=

2-4k

k2

，x1x2=

4

k2

．
∵以線段MN的長為直徑的圓過坐標原點O，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
∴

4(1+k2)

k2

+

2k(2-4k)

k2

+4=0，
化為k=-1．
∴直線l的方程為y=-x+2．

點評：本題考查了拋物線與圓的標準方程及其性質、直線與拋物線相交轉化為方程聯立可得△＞0及其根與系數的關系、向量垂直與數量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．