Question

【題目】已知函數在區間上有最大值3和最小值.

(1)求實數的值；

(2)設，若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】試題分析：（1）根據二次函數的性質求出的單調區間，求出函數的最大值和最小值，得到關于的方程組，解出即可；（2）問題轉化為 ，令，根據函數的單調性求出的最小值，求出的范圍即.

試題解析：(1)∵的對稱軸是，又∵.

∴在上單調遞減，在上單調遞增；

∴當時， 取最小值，當時， 取最大值3；

即，解得.

(2)∵，

∴，

∴，∴，

令，則在上是增函數，

故，

∴在上恒成立時， .

【方法點晴】本題主要考查二次函數的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.本題是利用方法 ① 求得 的范圍的.