Question

給出下列結論：
①當m=-

3

4

時，圓C：（x-1）²+（y-2）²=25倍直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）截得的弦長最短．
②若方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圓，則a=-1
③已知△ABC中，頂點A（2，1），B（-1，-1），∠C的平分線所在直線方程為x+2y-1=0，則頂點C的坐標為（

31

5

，-

13

5

）
④過點P引三條不共面的直線PA，PB，PC，其中∠BPC=90°，∠APC=∠APB=60°，且PA=PB=PC，則平面ABC⊥平面BPC，
其中正確的結論個數是（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,直線與圓,空間位置關系與距離

分析：①，直線l的方程：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）可化為：（2x+y-7）m+x+y-4=0，該直線經過定點M（3，1），當CM⊥l時，截得的弦長最短，可求得此時m的值，從而可判斷①
②，若方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圓，則

a2=a+2 ( 2a a2 )2+02-4a2•a＞0

，求得a=-1，可判斷②；
③，△ABC中，設C（a，b）則a+2b-1=0；易求AC斜率k₁=

b-1

a-2

，BC斜率k₂=

b+1

a+1

，又l的斜率k=-

1

2

，利用“到角公式”可求得a、b滿足的另一個關系式，與a+2b-1=0聯立可求得C點的坐標，從而可判斷③；
④，依題意，作出圖形，取BC的中點D，連接PD，AD，∠ADP為平面ABC與平面BPC所成的二面角的平面角，易證該角為直角，從而可判斷④．

解答： 解：對于①，由于直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）可化為：（2x+y-7）m+x+y-4=0，
由

2x+y-7=0 x+y-4=0

得：

x=3 y=1

，故直線l經過定點M（3，1），
由于：（3-1）²+（1-2）²=5＜25，故點M在圓C內部，顯然，CM⊥l，即直線l的斜率k=

1

- 1-2 3-1

=2時，
圓C：（x-1）²+（y-2）²=25倍直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）截得的弦長最短，此時-

2m+1

m+1

=2，解得m=-

3

4

，故①正確；
對于②，若方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圓，則

a2=a+2 ( 2a a2 )2+02-4a2•a＞0

，解得：a=-1，故②正確；
對于③，已知△ABC中，頂點A（2，1），B（-1，-1），∠C的平分線l所在直線方程為x+2y-1=0，
設C（a，b）則a+2b-1=0 （i）
AC斜率k₁=

b-1

a-2

，BC斜率k₂=

b+1

a+1

，又l的斜率k=-

1

2

，
因為直線l為角C的內角平分線，所以

k-k1

1+kk1

=

k2-k

1+kk2

，即

- 1 2 - b-1 a-2

1- 1 2 • b-1 a-2

=

b+1 a+1 -(- 1 2 )

1- 1 2 • b+1 a+1

（ii）
聯立（i）（ii）解得：a=

23

5

，b=-

9

5

，
所以C（

23

5

，-

9

5

），故③錯誤；
對于④，過點P引三條不共面的直線PA，PB，PC，因為∠APC=∠APB=60°，且PA=PB=PC，

所以△APC與△APB為全等的等邊三角形，故AC=AB，依題意，△ABC≌△BPC，且△ABC與△BPC均為等腰直角三角形．
取BC的中點D，連接PD，AD，則AD⊥BC，PD⊥BC，
所以，∠ADP為平面ABC與平面BPC所成的二面角的平面角，
設PA=PB=PC=1，則PD=AD=

2

2

，滿足PD²+DA²=PA²，
所以，∠ADP=90°，
則平面ABC⊥平面BPC，故④正確．
綜上所述，正確的結論有3個，
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考察直線與圓的位置關系，考查弦長最短的應用，考查二元二次方程表示圓的條件的應用，考查到角公式、二面角的求法，考查等價轉化思想、方程思想、數形結合思想的綜合運用，屬于難題．