Question

如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC=BC=5，AA′=AB=6，D、E分別為AB和BB′上的點，且

AD

DB

=

BE

EB′

=λ．
（1）求證：當λ=1時，A′B⊥CE；
（2）當λ為何值時，三棱錐A′-CDE的體積最小，并求出最小體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）λ=1時，平行四邊形ABB′A′為正方形，DE⊥A′B，由已知得CD⊥AB，CD⊥A′B，由此能證明A′B⊥CE．
（2）設BE=x，則AD=x，DB=6-x，B′E=6-x．C到面A′DE距離即為△ABC的邊AB所對應的，從而VA′-CDE=VC-A′DE=

1

3

(S四邊形ABB′A′-S△AA′D-S△DBE-S△A′B′E)•h，由此能求出當x=3時，即λ=1時，V_A'-CDE有最小值為18．

解答： （1）證明：∵λ=1，∴D．E分別為AB和BB′的中點
又AA′=AB，且三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱．
∴平行四邊形ABB′A′為正方形，∴DE⊥A′B…（2分）
∵AC=BC，D為AB的中點，∴CD⊥AB，且三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱．
∴CD⊥平面ABB′A′，∴CD⊥A′B，…（4分）
又CD∩DE=D，∴A′B⊥平面CDE，
∵CE?平面CDE，∴A′B⊥CE．…（6分）
（2）解：設BE=x，則AD=x，DB=6-x，B′E=6-x．
由已知可得C到面A′DE距離即為△ABC的邊AB所對應的高h=

AC2-( AB 2 )2

=4，…（8分）
∴VA′-CDE=VC-A′DE=

1

3

(S四邊形ABB′A′-S△AA′D-S△DBE-S△A′B′E)•h
=

1

3

[36-3x-

1

2

(6-x)x-3(6-x)]•h=

2

3

(x2-6x+36)
=

2

3

[(x-3)2+27]（0＜x＜6），…（10分）
∴當x=3時，即λ=1時，V_A'-CDE有最小值為18．…（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查當λ為何值時，三棱錐A′-CDE的體積最小，并求出最小體積，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．