Question

設函數f（x）=x+

4

x-1

（x＞1）．
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）若?x∈（1，+∞），使得不等式|2a-1|+|a+1|≥f（x）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）把函數的解析式化為f（x）=（x-1）+

1

x-1

+1，利用基本不等式求得它的最小值．
（2）由題意可得|2a-1|+|a+1|≥5，去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來求得實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵x＞1，∴f(x)=x+

4

x-1

=x-1+

4

x-1

+1≥2

(x-1)• 4 x-1

+1=5，
當且僅當x-1=

4

x-1

，即x=3時，f（x）的最小值為5．
（2）依題意，|2a-1|+|a+1|≥f（x）_min，即|2a-1|+|a+1|≥5，
于是

a≤-1 -(2a-1)-(a+1)≥5

，或

-1＜a≤ 1 2 -(2a-1)+(a+1)≥5

，或

a＞ 1 2 2a-1+(a+1)≥5

，
解得a≤-

5

3

或a≥

5

3

．…..（10分）

點評：本題主要考查基本不等式的應用，式子的變形是解題的關鍵；絕對值不等式的解法，關鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解，屬于基礎題．