Question

已知函數f（x）=ln

2x

ax+b

滿足f（1）=0，且對任何正數x，都有f（x）-f（

1

x

）=lnx．
（1）求實數a，b的值；
（2）若關于x的方程f（x）=ln（m+x）無實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）化簡得出

2

a+b

=1，ax+bx²=ax²+bx，即a=b，求解即可得出a，b．
（2）轉化為：

2x

x+1

=m+x，在x∈（0，+∞），上無解，t=x+1，t∈（1，+∞），求解y=-（t+

3

t

）+3，值域比較可得．

解答： 解：（1）∵f（1）=0，
∴

2

a+b

=1，又f（x）-f（

1

x

）=lnx．，
∴ln

2x

ax+b

-ln

2 x

a x +b

=ln

ax+bx2

ax+b

=lnx，
∴ax+bx²=ax²+bx，∴a=b，即得出a=b=1，
（2）ln

2x

ax+b

=ln（m+x），∴

2x

ax+b

=m+x，
∵

2x

x+1

＞0，∴x∈（0，+∞），
若

2x

x+1

=m+x，在x∈（0，+∞），上無解，
則m=

2x

x+1

-x=3-

2

x+1

-(x+1)，

設∵p（t）=t+

2

t

，t∈（1，+∞），
∴t+

2

t

≥2

2

，
∴-（t+

2

t

）+3∈（-∞，3-2

2

]
∴實數m的取值范圍：（3-2

2

，+∞）

點評：本題考查了方程的運用，函數的值域的求解，結合不等式求解，把方程有解無解的問題與函數的值域結合起來，屬于中檔題．