Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=log2（ +a）．
（1）當a=1時，解不等式f（x）＞1；
（2）若關于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一個元素，求a的值；
（3）設a＞0，若對任意t∈[ ，1]，函數f（x）在區間[t，t+1]上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，不等式f（x）＞1化為： ＞1，

∴ 2，化為： ，解得0＜x＜1，

經過驗證滿足條件，因此不等式的解集為：（0，1）

（2）解：方程f（x）+log2（x2）=0即log2（ +a）+log2（x2）=0，∴（ +a）x2=1，化為：ax2+x﹣1=0，

若a=0，化為x﹣1=0，解得x=1，經過驗證滿足：關于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一個元素1．

若a≠0，令△=1+4a=0，解得a= ，解得x=2．經過驗證滿足：關于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一個元素1．

綜上可得：a=0或﹣

（3）解：a＞0，對任意t∈[ ，1]，函數f（x）在區間[t，t+1]上單調遞減，

∴ ﹣ ≤1，

∴ ≤2，

化為：a≥ =g（t），t∈[ ，1]，

g′（t）= = = ≤ ＜0，

∴g（t）在t∈[ ，1]上單調遞減，∴t= 時，g（t）取得最大值， = ．

∴ ．

∴a的取值范圍是

【解析】（1）當a=1時，不等式f（x）＞1化為： ＞1，因此 2，解出并且驗證即可得出．（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（ +a）+log2（x2）=0，（ +a）x2=1，化為：ax2+x﹣1=0，對a分類討論解出即可得出．（3）a＞0，對任意t∈[ ，1]，函數f（x）在區間[t，t+1]上單調遞減，由題意可得 ﹣ ≤1，因此 ≤2，化為：a≥ =g（t），t∈[ ，1]，利用導數研究函數的單調性即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲�)，還要掌握指、對數不等式的解法(指數不等式的解法規律：根據指數函數的性質轉化;對數不等式的解法規律：根據對數函數的性質轉化)的相關知識才是答題的關鍵．