Question

【題目】過(guò)雙曲線的右支上的一點(diǎn)P作一直線l與兩漸近線交于A、B兩點(diǎn)，其中P是的中點(diǎn)；

（1）求雙曲線的漸近線方程；

（2）當(dāng)P坐標(biāo)為時(shí)，求直線l的方程；

（3）求證：是一個(gè)定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

(1)根據(jù)漸近線的方程直接求解即可.

(2)根據(jù)題意求出點(diǎn)P坐標(biāo),再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解的坐標(biāo),進(jìn)而求得直線l的斜率,再利用點(diǎn)斜式求解方程即可.

(3) 設(shè),,,根據(jù)P是的中點(diǎn)求出,,進(jìn)而求得,最后利用雙曲線的方程求解即可.

（1）雙曲線的,,可得雙曲線的漸近線方程為,

即為；

（2）令可得,解得,（負(fù)的舍去）,設(shè),,

由P為的中點(diǎn),可得,,解得,,

即有,可得的斜率為,

則直線l的方程為,即為；

（3）證明：設(shè),即有,設(shè),,

由P為的中點(diǎn),可得,,解得,,

則為定值．