Question

已知函數f（x）=log_a（1-a^x）（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）當a＞1時，判斷函數f（x）的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意得，1-a^x＞0；從而討論a以求函數的定義域；
（2）當a＞1時，函數f（x）在其定義域（-∞，0）上是減函數，利用定義法證明．

解答： 解：（1）由題意得，1-a^x＞0；
當0＜a＜1時，1-a^x＞0的解集為（0，+∞）；
故f（x）的定義域為（0，+∞）；
當a＞1時，1-a^x＞0的解集為（-∞，0）；
故f（x）的定義域為（-∞，0）；
（2）當a＞1時，函數f（x）在其定義域（-∞，0）上是減函數，
證明如下，
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∵a＞1，則ax1＜ax2；
故1-ax1＞1-ax2；
故log_a（1-ax1）＞log_a（1-ax2）；
故f（x₁）＞f（x₂）；
故函數f（x）在其定義域（-∞，0）上是減函數．

點評：本題考查了函數的定義域的求法及函數的單調性的證明，屬于基礎題．