Question

已知函數f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R，a∈R．
（1）討論函數的奇偶性；
（2）若函數f（x）的最小時為g（a），令m=g（a），求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義進行判斷；
（2）若函數f（x）的最小時為g（a），令m=g（a），求m的取值范圍．

解答： 解：（1）若a=0，則f（x）=x²+|x|+1，
f（-x）=（-x）²+|-x|+1=x²+|x-a|+1=f（x），此時f（x）為偶函數，
若a≠0，∵f（0）=1+|a|≠0，∴f（x）不是奇函數，
∵f（1）=2+|1-a|，f（-1）=2+|a+1|，
∴f（-1）≠f（1），則函數不是偶函數；
即a≠0時，f（x）為非奇非偶函數．
（2）當x≤a時，f（x）=（x-

1

2

）²+a+

3

4

．
a＜

1

2

，函數f（x）在（-∞，a]上單調遞減．
從而函數f（x）在（-∞，a]上的最小值為g（a）=f（a）=a²+1；此時m≥a²+1，
a≥

1

2

時，函數f（x）在（-∞，a]上的最小值為g（a）=f（

1

2

）=

3

4

+a，且f（

1

2

）≤f（a）；
當x≥a時，函數f（x）=（x+

1

2

）²-a+

3

4

．
a≤-

1

2

時，函數f（x）在[a，+∞）上的最小值為g（a）=f（-

1

2

）=

3

4

-a，且f（-

1

2

）≤f（a）；此時m≥

3

4

-a，
a＞-

1

2

，函數f（x）在[a，+∞）上單調遞減，從而函數f（x）在[a，+∞）上的最小值為g（a）=f（a）=a²+1．此時m≥a²+1．
綜上得，a≤-

1

2

時，函數f（x）的最小值為

3

4

-a；
當-

1

2

≤a≤

1

2

時，函數f（x）的最小值為a²+1；
a≥-

1

2

時，函數f（x）的最小值為

3

4

+a．

點評：本題主要考查函數奇偶性的判斷，考查了絕對值函數的對絕對值的討論及二次函數在定義域下求最值綜合性較強，難度較大．