Question

設命題p：實數x滿足（x-4a）（x-a）＜0，其中a＞0，命題q：實數x滿足x²-4x+3≤0．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（2）若p是q成立的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）將a=1代入，求出q為真時x的范圍，從而求出p且q為真時x的范圍；（2）q是p的充分不必要條件，則B?A，得到不等式組，解出即可．

解答： 解：（1）由（x-4a）（x-a）＜0得a＜x＜4a，
當a=1時，1＜x＜4，即p為真命題時，實數x的取值范圍是1＜x＜4，
由x²-4x+3≤0得1≤x≤3．
所以q為真時實數x的取值范圍是1≤x≤3，
若p∧q為真，則1＜x≤3，所以實數x的取值范圍是（1，3]，
（2）設A={x|a＜x＜4a}，B={x|1≤x≤3}，
q是p的充分不必要條件，則B?A，
所以

0＜a＜1 4a＞3

⇒

3

4

＜a＜1，所以實數a的取值范圍是（

3

4

，1）．

點評：本題考查了復合命題的判斷，考查了充分必要條件問題，是一道基礎題．