Question

（1）判斷函數f（x）=x³+

1

x3

的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）=

x

x2-1

在（-1，1）內的單調性并用單調性的定義證明．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用函數奇偶性的定義即可判斷函數f（x）=x³+

1

x3

的奇偶性；
（2）根據函數單調性的定義進行證明即可．

解答： 解：（1）函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
則f（-x）=-x³-

1

x3

=-（x³+

1

x3

）=-f（x），
故函數f（x）是奇函數；
（2）函數f（x）=

x

x2-1

在（-1，1）內的單調遞減，
設1＞x₁＞x₂＞-1，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12-1

-

x2

x22-1

=

(x2-x1)(1+x1x2)

(x12-1)(x22-1)

，
∵1＞x₁＞x₂＞-1，
∴x₂-x₁＞0，且x₁²＜1，x₂²＜1，x₁x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函數f（x）在區間（-1，1）上是減函數．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，根據奇偶性和單調性的定義是解決本題的關鍵．