Question

已知數列{a_n}滿足a₁=18，a_n+1-a_n=3n，則

an

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：利用疊加法求數列的通項，再利用導數和函數的單調性，可求

an

n

的最小值．

解答： 解：∵a_n+1-a_n=3n，a₁=18，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=18+3[（1+2+…+（n-1）]=18+

3(n-1)(1+n-1)

2

=18+

3

2

n（n-1），
∴

an

n

=

18

n

+

3n

2

-

3

2

，
設f（x）=

18

n

+

3n

2

-

3

2

，
∴f′（x）=-

18

x2

+

3

2

，
當f′（x）＞0，即x＞2

3

，函數f（x）為增函數，
當f′（x）＜0，即x＜2

3

，函數f（x）為減函數，
當x=2

3

時函數有最小值，
∵f（3）=

18

3

+

3×3

2

-

3

2

=9，f（4）=

18

4

+

12

2

-

3

2

=9，
∴當n=3，或n=4時，則

an

n

的最小值為9，
故答案為：9

點評：本題考查疊加法求數列的通項，考查導數和函數的單調性的關系，正確確定數列的通項是關鍵．