Question

【題目】已知函數的定義域為，對于任意的，都有且當時，，若.

(1)求證：為奇函數；

(2)求證: 是上的減函數；

(3)求函數在區間[-2,4]上的值域.

Answer 1

【答案】(1)見解析,(2)見解析,(3) [-8,4]

【解析】

（1）先利用特殊值法，求證f（0）＝0，令y＝﹣x即可求證；

（2）由（1）得f（x）為奇函數，f（﹣x）＝﹣f（x），利用定義法進行證明；

（3）由函數為減函數，求出f（﹣2）和f（4）繼而求出函數的值域，

（1）∵f（x）的定義域為R，令x＝y＝0，則f（0+0）＝f（0）+f（0）＝2f（0），

∴f（0）＝0．

令y＝﹣x，則f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x），

即f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0．

∴f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）為奇函數．

（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

則f（x2）﹣f（x1）＝f（x2）+f（﹣x1）＝f（x2﹣x1）．

又∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0，

∴f（x2）﹣f（x1）＜0，

即f（x1）＞f（x2）．

故f（x）是R上的減函數．

（3）∵f（﹣1）＝2，∴f（﹣2）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝4．

又f（x）為奇函數，∴f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣4，

∴f（4）＝f（2）+f（2）＝﹣8．

由（2）知f（x）是R上的減函數，

所以當x＝﹣2時，f（x）取得最大值，最大值為f（﹣2）＝4；

當x＝4時，f（x）取得最小值，最小值為f（4）＝﹣8．

所以函數f（x）在區間[﹣2，4]上的值域為[﹣8，4]．