Question

若m＞0，n＞0，且m+n=1，mn+

1

mn

則的最小值為（　　）

• A、2
• B、4
• C、

  17

  4

• D、2

  2

Answer 1

考點：基本不等式

專題：導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：利用基本不等式的性質可得0＜mn≤

1

4

．通過換元利用導數研究其單調性極值最值即可得出．

解答： 解：∵m＞0，n＞0，且m+n=1，
∴1≥2

mn

，化為0＜mn≤

1

4

．
令0＜t≤

1

4

．
則mn+

1

mn

=t+

1

t

=f（t），t∈(0，

1

4

]．
∴f′(t)=1-

1

t2

=

t2-1

t2

＜0，
∴函數f（t）在(0，

1

4

]單調遞減，
∴當t=

1

4

時，f（t）取得最小值，f(

1

4

)=

1

4

+

1

1 4

=

17

4

．
故選：C．

點評：本題考查了基本不等式的性質、換元法、利用導數研究其單調性極值最值等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．