Question

【題目】如圖，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的棱形，PD⊥底面ABCD.

（1）證明：AC⊥平面PBD；

（2）若PD=AD，直線PB與平面ABCD所成的角為45°，四棱錐P—ABCD的體積為，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】

(1)根據菱形與PD平面ABCD，證明與即可.

(2)根據直線PB與平面ABCD所成的角為45°可得BD=PD=，進而根據體積公式列式求解即可.

解：（1）因為四邊形ABCD是菱形，所以ACBD，

又因為PD平面ABCD，平面ABCD，所以PDAC，

又，故AC平面PBD；

（2）因為PD平面ABCD，

所以∠PBD是直線PB與平面ABCD所成的角，

于是∠PBD=45°，

因此BD=PD=，又AB= AD=，

所以菱形ABCD的面積為，.

故四棱錐P- ABCD的體積，.