Question

若不等式x³-mx²+x+m-2≤0在x∈（1，+∞）有解，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：運用參數分離可得，m≥

x3+x-2

x2-1

，令t=x+1（t＞2），則y=

(t-1)2+t+1

t

=t+

2

t

-1，運用導數判斷右邊的單調性，得到范圍即可．

解答： 解：由于x＞1，則不等式x³-mx²+x+m-2≤0，
即為m≥

x3+x-2

x2-1

=

x2+x+2

x+1

，
令t=x+1（t＞2），則y=

(t-1)2+t+1

t

=t+

2

t

-1，y′=1-

2

t2

＞0，則y在t＞2遞增，即有y＞2，
則不等式在x∈（1，+∞）有解等價為m＞2．
故答案為：（2，+∞）．

點評：本題考查不等式有解的問題轉化為求函數的最值，考查運用導數判斷單調性，考查運算能力，屬于中檔題．