Question

已知函數f（x）=log₂（4^x+1）+mx．
（Ⅰ）若f（x）是偶函數，求實數m的值；
（Ⅱ）當m＞0時，關于x的方程f（8（log₄x）²+2log₂

1

x

+

4

m

-4）=1在區間[1，2

2

]上恰有兩個不同的實數解，求m的范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,指數函數綜合題

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據f（x）是偶函數，建立方程關系即可求實數m的值；
（Ⅱ）利用對數函數的性質，利用換元法，轉化為兩個函數的交點問題即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ） 若f（x）是偶函數，則有f（-x）=f（x）恒成立，即：log₂（4^-x+1）-mx=log₂（4^x+1）+mx．
于是2mx=log₂（4^-x+1）-log₂（4^x+1）=log₂（

4x+1

4x

）-log₂（4^x+1）=-2x，
即是2mx=-2x對x∈R恒成立，
故m=-1．
（Ⅱ）當m＞0時，y=log₂（4^x+1），在R上單增，y=mx在R上也單增
所以f（x）=log₂（4^x+1）+mx在R上單增，且f（0）=1，
則f（8（log₄x）²+2log₂

1

x

+

4

m

-4）=1可化為f（8（log₄x）²+2log₂

1

x

+

4

m

-4）=f（0），
又f（x）單增，得8（log₄x）²+2log₂

1

x

+

4

m

-4=0，
換底得8（

log2x

log24

）²-2log₂x+

4

m

-4=0，
即2（log₂x）²-2log₂x+

4

m

-4=0，
令t=log₂x，則t∈[0，

3

2

]，問題轉換化為
2t²-2t+

4

m

-4=0在t∈[0，

3

2

]，有兩解，
即

4

m

=-2t²+2t+4，
令y=-2t²+2t+4，
則y=-2t²+2t+4=-2（t-

1

2

）²+

9

2

，
∴當t=

1

2

時，函數取得最大值

9

2

，
當t=0時，函數y=4，
當t=

3

2

時，函數取得最小值

5

2

，
若方程f（8（log₄x）²+2log₂

1

x

+

4

m

-4）=1在區間[1，2

2

]上恰有兩個不同的實數解，
則等價為4≤

4

m

＜

9

2

，
解得

8

9

＜m≤1，
故求m的范圍為

8

9

＜m≤1．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及對數函數的應用，利用方程和函數之間的關系，轉化為兩個函數的交點問題是解決本題的關鍵．