Question

【題目】已知數列{an}的前n項為和Sn，點（n，）在直線y＝x＋上．數列{bn}滿足bn+2－2bn+1＋bn＝0（nN*），且b3＝11，前9項和為153．

（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；

（2）求數列的前項和

（3）設nN*，f（n）＝問是否存在mN*，使得f（m＋15）＝5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），bn＝3n＋2．（2）（3）11

【解析】試題分析：（１）由點在直線上，求得 ，利用 與 的關系求出 通項公式，由 得 是等差數列，再算出首項和公差，寫出通項公式；（２）化簡 的表達式，采用錯位相減法求和；（３）分 為奇數和偶數，討論 是否成立．

試題解析：（Ⅰ）∵點(n，)在直線y＝x＋上，∴＝n＋，即Sn＝n2＋n，所以6，當時， n＋5．且6也適合，所以

∵bn+2－2bn+1＋bn＝0(nN*)，∴bn+2－bn+1＝ bn+1－bn＝…＝ b2－b1．∴數列{bn}是等差數列，∵b3＝11，它的前9項和為153，設公差為d，則b1＋2d＝11，9b1＋×d＝153，解得b1＝5，d＝3．∴bn＝3n＋2．

（Ⅱ）令

則

（Ⅲ） nN*，f(n)＝＝

當m為奇數時，m＋15為偶數，則有3（m＋15）＋2＝5(m＋5)，解得m＝11

當m為偶數時，m＋15為奇數．若f(m＋15)＝5f(m)成立， m＋15＋5＝5（3m＋2），此時不成立．

所以當m＝11時，f(m＋15)＝5f(m)．