Question

如圖，四棱錐S—ABCD中，SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E為棱SB上的三等分點，SE=2EB   
(Ⅰ)證明：平面EDC⊥平面SBC.(Ⅱ)求二面角A—DE—C的大小                .

Answer 1

(1)證明見解析   （Ⅱ）120°

本試題主要考查了立體幾何中的運用。
(1)證明：因為SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E為棱SB上的三等分點，SE=2EB  所以ED⊥BS,DE⊥EC,所以ED⊥平面SBC.，因此可知得到平面EDC⊥平面SBC.
（Ⅱ）由SA²= SD²+AD² =" 5" ，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知
AE²=" (1" /3 SA)²+(2/ 3 AB)² =1，又AD=1．故△ADE為等腰三角形．
取ED中點F，連接AF，則AF⊥DE，AF²= AD²-DF² =．連接FG，則FG∥EC，FG⊥DE．
所以，∠AFG是二面角A-DE-C的平面角．連接AG，AG=" 2" ，FG²= DG²-DF² =，
cos∠AFG=(AF²+FG²-AG² )/2?AF?FG ="-1" /2 ，所以，二面角A-DE-C的大小為120°