Question

已知a，b∈R，b≠0，曲線y=x³-ax²-bx和直線 y=ax+b有交點Q（m，n）（m，n∈Z），則a，b滿足的等量關系式為

 

．（不能含其它參量）

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：把交點Q（m，n）代入得：n=am+b及n=m³-am²-bm，再得出n=m³-am²-bm=m³-m（am+b）=m³-mn，從而m³=（m+1）n，驗證整數可得結果．

解答： 解：∵曲線y=x³-ax²-bx和直線 y=ax+b有交點Q（m，n）（m，n∈Z），
∴把交點Q（m，n）代入得：n=am+b及n=m³-am²-bm，
n=m³-am²-bm=m³-m（am+b）=m³-mn，
∴m³=（m+1）n，
∴n=

m3

m+1

=

[(m+1)-1]3

m+1

=

(m+1)3-3(m+1)2+3(m+1)-1

m+1

=(m+1)2-3(m+1)+3-

1

m+1

∵n、（m+1）²、m+1都為整數，∴

1

m+1

為整數，
∴

1

m+1

=1或

1

m+1

=-1，
由

1

m+1

=1得m=0，進一步n=

m3

m+1

=0，則代入n=am+b得出b=0，與已知矛盾；
由

1

m+1

=-1得m=-2，進一步n=

m3

m+1

=8，則代入n=am+b得出8=-2a+b，
∴2a-b+8=0
故答案為：2a-b+8=0

點評：本題主要考查函數圖象的交點問題，注意數學式子的恒等變形是解題的關鍵．