Question

若直線過雙曲線的一個焦點，且與雙曲線的一條漸近線平行.
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若過點與軸不平行的直線與雙曲線相交于不同的兩點的垂直平分線為，求直線在軸上截距的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）直線在軸上的截距的取值范圍為

試題分析：（Ⅰ）由得，，且，解得故雙曲線的方程為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題意可設過點的直線為由得，，，且設的中點，則，故直線的方程為，即所以直線在軸上的截距，由，且得，所以.即直線在軸上的截距的取值范圍為
點評：中檔題，結合雙曲線的幾何性質，應用“待定系數法”求得了雙曲線標準方程。研究直線與圓錐曲線的位置關系，往往應用韋達定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實現解題目的。（II）中根據方程組有解，確定得到直線斜率范圍，易于忽視。