Question

如圖所示，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求四面體BDEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由線面垂直得DE⊥AC，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由此能證明AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）由已知得AB⊥平面ADEF，由此能求出四面體BDEF的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，∠ADE=90°，
∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AC，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∴AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）解：∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADEF，
∵AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2，
∴S_△DEF=

1

2

×ED×AD=

1

2

×2×2=2，
∴四面體BDEF的體積V=

1

3

S△DEF×AB=

1

3

×2×2=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查四面體的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．