Question

已知函數f（x）=6sin²x-2cos²x+8sinxcosx
（1）求函數f（x）的最大值；
（2）在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，∠A為銳角，f（A）=6，且△ABC的面積為3，b+c=2+3

2

，求b，c的值．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用二倍角公式、兩角差的正弦公式化簡解析式，由正弦函數的最大值求出函數f（x）的最大值；
（2）利用f（A）=6和角A的范圍求出A，再由三角形的面積公式求出bc的值，由條件和韋達定理求出b、c的值．

解答： 解：（1）由題意得，f（x）=6sin²x-2cos²x+8sinxcosx
=3（1-cos2x）-（1+cos2x）+4sin2x
=4sin2x-4cos2x+2=4

2

sin(2x-

π

4

)+2，
所以當sin(2x-

π

4

)=1時，函數f（x）取到最大值是：4

2

+2，
（2）因為f（A）=6，
所以4

2

sin(2A-

π

4

)+2=6，則sin(2A-

π

4

)=

2

2

，
因為∠A為銳角，所以-

π

4

＜2A-

π

4

＜

3π

4

，
則2A-

π

4

=

π

4

，解得A=

π

4

，
因為△ABC的面積為3，所以

1

2

bcsinA=3，解得bc=6

2

，
因為b+c=2+3

2

，所以b、c是方程x2-(2+3

2

)x+6

2

=0的兩個根，
解得b=2、c=3

2

或b=3

2

、c=2，
所以b，c的值是2、3

2

或3

2

、2．

點評：本題考查二倍角公式、兩角差的正弦公式，正弦函數的性質，以及三角形的面積公式和韋達定理，屬于中檔題．