Question

設函數f（x）=x³+4x+5的圖象在x=1處的切線為l，則圓2x²+2y²-8x-8y+15=0上的點到直線l的最短距離為

2

．

Answer 1

分析：利用求導法則得到f（x）的導函數，由函數f（x）=x³+4x+5的圖象在x=1處的切線為l，將x=1代入導函數解析式中求出導函數值，即為切線l的斜率，將x=1代入函數解析式中f（1）的值，得到切點坐標，確定出切線l的方程，將圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標和半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心到切線l的距離d，用d-r即可求出圓2x²+2y²-8x-8y+15=0上的點到直線l的最短距離．

解答：解：求導得：f′（x）=3x²+4，
∴切線l的斜率k=f′（1）=3+4=7，且x=1時，f（1）=1+4+5=10，
∴切線l的方程為y-10=7（x-1），即7x-y+3=0，
將圓2x²+2y²-8x-8y+15=0化為標準方程得：（x-2）²+（y-2）²=

1

2

，
∴圓心（2，2）到切線l的距離d=

|14-2+3|

72+1

=

3 2

2

，
則圓2x²+2y²-8x-8y+15=0上的點到直線l的最短距離為d-r=

3 2

2

-

2

2

=

2

．
故答案為：

2

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，曲線上某點切線方程的斜率，圓的標準方程，直線的點斜式方程，以及點到直線的距離公式，其中直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑．