Question

設函數f（x）=x³+2bx²+cx-2的圖象與x軸相交于一點P（t，0），且在點P（t，0）處的切線方程是y=5x-10．
（I）求t的值及函數f（x）的解析式；
（II）設函數g（x）=f（x）+

1

3

mx
（1）若g（x）的極值存在，求實數m的取值范圍．
（2）假設g（x）有兩個極值點x₁，x₂（且x₁≥0，x₂≥0），求x

2 1

+x

2 2

關于m的表達式φ（m），并判斷φ（m）是否有最大值，若有最大值求出它；若沒有最大值，說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用條件f（x）與x軸相交于一點P（t，0），且在點P（t，0）處的切線方程是y=5x-10，求出對應的b，c．
（II）求函數的導數，利用函數的極值和導數的關系，確定m的取值范圍．

解答：解：（I）設切點P（t.0）代入直線方程y=5x-10，得P （2，0），
且有f（2）=0，即4b+c+3=0…①…（2分）
又f'（x）=3x²+4bx+c，由已f'（2）=12+8b+c=5得8b+c+7=0  …②
聯立①②，解得b=-1，c=1．
所以函數的解析式f（x）=x³-2x²+x-2    …（4分）
（II）（1）因為g(x)=x3-2x2+x-2+

1

3

mx，
g′(x)=3x2-4x+1+

1

3

m=0，
當函數有極值時，則△≥0，方3x2-4x+1+

1

3

m=0有實數解，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．        …（8分）
①當m=1時，g'（x）=0有實數x=

2

3

，在x=

2

3

的左右兩側均g'（x）＞0，故函數g（x）無極值
②當m＜1時，g'（x）=0有兩個實數根x₁，x₂，（x₁＜x₂）．
g'（x），g（x）情況如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以在m∈（-∞，1）時，函數g（x）有極值；…（10分）
（2）由（1）得m∈（-∞，1）且x₁+x₂=

4

3

，x1x2=

3+m

9

．
x12+x22=φ(m)=(x1+x2)2-2x1x2=

16

9

-

2(3+m)

9

=

10-m

9

…（12分）
∵x1x2=

3+m

9

．≥0，m∈（-∞，1）
∴φ(m)=

10-m

9

，-3≤m＜1，故φ（m）有最大值為φ（-3）=

13

9

…（14分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值，要使熟練掌握導數和函數的單調性和極值的關系，運算量較大，綜合性較強．