Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°．點E是棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F．

（1）求證：AB∥EF；

（2）若PA＝PD＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先證明平面即可；（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面、平面的法向量，再由向量的夾角公式計算即可．

證明：（1）因為底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．

又因為AB面PCD，CD面PCD，所以AB∥面PCD．

又因為A，B，E，F四點共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，

所以AB∥EF．

解：（2）取AD中點G，連接PG，GB．

因為PA＝PD，所以PG⊥AD．

又因為平面PAD⊥平面ABCD，

且平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．

在菱形ABCD中，因為AB＝AD，∠DAB＝60°，G是AD中點，

所以AD⊥GB．

如圖，以G為原點，GA為x軸，GB為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標系G﹣xyz．

設PA＝PD＝AD＝2a，

則G（0，0，0），A（a，0，0），．

又因為AB∥EF，點E是棱PC中點，所以點F是棱PD中點．

所以，．

所以，．

設平面AFE的法向量為n＝（x，y，z），則有所以

令x＝3，則平面AFE的一個法向量為．

因為BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一個法向量．

因為，

所以平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值為．