【題目】已知橢圓
的中心在原點，焦點在
軸上，它的一個頂點恰好是拋物線
的焦點，離心率等于
.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過橢圓的右焦點
作直線
交橢圓于
兩點，交
軸于
點，若
，求證
為定值．
【答案】(1)
；(2)證明見解析.
【解析】
(1)分析題意可得b＝1，再根據離心率的表達式和a,b,c之間的系數關系可求得標準方程
(2)將直線與橢圓方程進行聯立，利用韋達定理，再結合題意即可
(1)設橢圓的標準方程為為
，
由題b＝1，
.即
,
∴橢圓C的方程為.
(2)方法一：設A、B、M點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．易知F點的坐標為(2,0)．
，
∴(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，
，
將A點坐代入到橢圓方程中，得
，
去分母整理得
.同理，由
，
可得
，∴λ1，λ2是方程
的兩個根，∴λ1＋λ2＝－10.故λ1＋λ2為定值．
方法二:設A、B、M點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．又易知F點的坐標為(2,0)．顯然直線
存在斜率，設直線的斜率為k，則直線的方程是y＝k(x－2)．將直線的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0. 
.
又
,將各點坐標代入得
,
,
故λ1＋λ2為定值．
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【題目】下列命題中正確的是（ ）
A.函數
在區間
上有且只有
個零點
B.若函數
，則
C.如果函數
在
上單調遞增，那么它在
上單調遞減
D.若函數
的圖象關于點
對稱，則函數
為奇函數
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【題目】在正方體
中，
、
分別為
、
的中點，
，
，如圖.
（1）若
交平面
于點
，證明：
、
、三點共線；
（2）線段
上是否存在點
，使得平面
平面，若存在確定的位置，若不存在說明理由.
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【題目】已知在等比數列{an}中，
＝2，，
＝128，數列{bn}滿足b1＝1，b2＝2，且{
}為等差數列．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）求數列{bn}的前n項和．
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【題目】如下圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是（ ）
A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.
B. 與去年同期相比，2017年第一季度的GDP總量實現了增長.
C. 去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元 .
D. 2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個.
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【題目】已知常數
且
，在數列
中，首項
，
是其前
項和，且
，
.
（1）設
，，證明數列
是等比數列，并求出的通項公式；
（2）設
，，證明數列
是等差數列，并求出的通項公式；
（3）若當且僅當
時，數列
取到最小值，求
的取值范圍．
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【題目】在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：
摸球方法：從袋中隨機摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢．
（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？
（2）摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計）能賺多少錢？
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【題目】已知
,
,點
滿足
，記點的軌跡為
.
（1）求軌跡的方程；
（2）若直線
過點
且與軌跡交于、
兩點.
（i）無論直線繞點怎樣轉動，在
軸上總存在定點
，使
恒成立，求實數
的值.
（ii）在（i）的條件下，求
面積的最小值.
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