【題目】設橢圓
(
)的離心率為
，圓
與
軸正半軸交于點
，圓
在點處的切線被橢圓
截得的弦長為
．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設圓上任意一點
處的切線交橢圓于點
，試判斷
是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.
【答案】（1）
； （2）見解析.
【解析】
（I）結合離心率，得到a,b,c的關系，計算A的坐標，計算切線與橢圓交點坐標，代入橢圓方程，計算參數，即可。（II）分切線斜率存在與不存在討論，設出M,N的坐標，設出切線方程，結合圓心到切線距離公式，得到m,k的關系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數關系，表示
，結合三角形相似，證明結論，即可。
(Ⅰ)設橢圓的半焦距為
，由橢圓的離心率為
知，
，
∴橢圓
的方程可設為
.
易求得
，∴點
在橢圓上，∴
，
解得
，∴橢圓的方程為.
(Ⅱ)當過點
且與圓
相切的切線斜率不存在時，不妨設切線方程為
，由(Ⅰ)知，
，
，∴
.
當過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設切線的方程為
，
，
∴
，即
.
聯立直線和橢圓的方程得
，
∴
，得
.
∵
，
∴
，
，
∴.
綜上所述，圓上任意一點處的切線交橢圓于點
，都有.
在
中，由
與
相似得，
為定值.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某物流公司欲將一批海產品從A地運往B地，現有汽車、火車、飛機三種運輸工具可供選擇，這三種工具的主要參考數據如下：
運輸工具 | 途中速度（ | 途中費用（元/ | 裝卸時間（ | 裝卸費用（元/ |
汽車 | 50 | 80 | 2 | 200 |
火車 | 100 | 40 | 3 | 400 |
飛機 | 200 | 200 | 3 | 800 |
若這批海產品在運輸過程中的損耗為300元/
，問采用哪種運輸方式比較好，即運輸過程中的費用與損耗之和最小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數
與燒開一壺水所用時間
的一組數據，且作了一定的數據處理(如下表)，得到了散點圖(如下圖)．
|
|
|
|
|
|
|
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
．
（1）根據散點圖判斷，
與
哪一個更適宜作燒水時間關于開關旋鈕旋轉的弧度數的回歸方程類型?(不必說明理由)
（2）根據判斷結果和表中數據，建立關的回歸方程；
（3）若旋轉的弧度數與單位時間內煤氣輸出量
成正比，那么為多少時，燒開一壺水最省煤氣？
附：對于一組數據
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業甲,乙兩個研發小組,他們研發新產品成功的概率分別為
和
,現安排甲組研發新產品
,乙組研發新產品
.設甲,乙兩組的研發是相互獨立的.
(1)求至少有一種新產品研發成功的概率;
(2)若新產品
研發成功,預計企業可獲得
萬元,若新產品
研發成功,預計企業可獲得利潤
萬元,求該企業可獲得利潤的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“大眾創業，萬眾創新”是李克強總理在本屆政府工作報告中向全國人民發出的口號．某生產企業積極響應號召，大力研發新產品，為了對新研發的一批產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數據
，如表所示：
試銷單價 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
產品銷量 |
| 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知
．
（1）求出
的值；
（2）已知變量
具有線性相關關系，求產品銷量
（件）關于試銷單價
（元）的線性回歸方程
；可供選擇的數據：
，
；
（3）用
表示用（2）中所求的線性回歸方程得到的與
對應的產品銷量的估計值．當銷售數據
對應的殘差的絕對值
時，則將銷售數據稱為一個“好數據”．現從6個銷售數據中任取3個，求“好數據”個數
的分布列和數學期望
．
（參考公式：線性回歸方程中
的最小二乘估計分別為
，
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數
在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為
的圖象與x軸的交點，且
為等邊三角形.將函數的圖象上各點的橫坐標變為原來的
倍后，再向右平移
個單位，得到函數
的圖象.
（1）求函數
的解析式；
（2）若不等式
對任意
恒成立，求實數m的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
.如果數列
滿足
， 
，其中
，則稱
為
的“陪伴數列”.
（Ⅰ）寫出數列
的“陪伴數列”
；
（Ⅱ）若
的“陪伴數列”是
.試證明： 
成等差數列.
（Ⅲ）若
為偶數，且
的“陪伴數列”是
，證明： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動點M到定點F1（-2，0）和F2（2，0）的距離之和為
．
（1）求動點M軌跡C的方程；
（2）設N（0，2），過點P（-1，-2）作直線l，交橢圓C于不同于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，問k1+k2是否為定值？若是的求出這個值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
: 
的左右焦點分別
，過
作垂直于
軸的直線
交橢圓于
兩點，滿足
.
（1）求橢圓的離心率.
（2）
是橢圓短軸的兩個端點，設點
是橢圓上一點（異于橢圓的頂點），直線
分別與軸相交于
兩點，
為坐標原點，若
，求橢圓的方程.
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