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【題目】數列，，滿足：，，．

（1）若數列是等差數列，求證：數列是等差數列；

（2）若數列，都是等差數列，求證：數列從第二項起為等差數列；

（3）若數列是等差數列，試判斷當時，數列是否成等差數列？證明你的結論．

【題目】已知函數.

(1)求函數的單調區間；

(2)若在上恒成立，求實數的取值范圍；

(3)在(2)的條件下(提示：可以用第(2)問的結論)，任意的，證明：.

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，離心率為的橢圓的左頂點為，過原點的直線（與坐標軸不重合）與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于， 兩點.若直線斜率為 時， .

(1)求橢圓的標準方程；

(2)試問以為直徑的圓是否經過定點（與直線的斜率無關）？請證明你的結論．

【題目】已知橢圓C:（）的左頂點為A，離心率為，點在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線（）與橢圓C交于E，F兩點，直線，分別與y軸交于點M，N，求證:在x軸上存在點P，使得無論非零實數k怎樣變化，以為直徑的圓都必過點P，并求出點P的坐標.

（1）試估計該河流在8月份水位的眾數；

（2）我們知道若該河流8月份的水位小于40米的頻率為f，該河流8月份的水位小于40米的情況下發生1級災害的頻率為g，則該河流8月份的水位小于40且發生1級災害的頻率為，其他情況類似.據此，試分別估計該河流在8月份發生12級災害及不發生災害的頻率，，；

（3）該河流域某企業，在8月份，若沒受12級災害影響，利潤為500萬元；若受1級災害影響，則虧損100萬元；若受2級災害影響則虧損1000萬元.現此企業有如下三種應對方案:

試問，如僅從利潤考慮，該企業應選擇這三種方案中的哪種方案?說明理由.

【題目】在四棱錐中， 與相交于點，點在線段上，，且平面．

（1）求實數的值；

（2）若，, 求點到平面的距離．

【題目】某省新高考將實行“”模式，“3”為全國統考科目語文數學外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在物理歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學生物思想政治地理4個科目中選擇兩科.某考生已經確定“首選科目”為物理，如果他從“再選科目”中隨機選擇兩科，則思想政治被選中的概率為（ ）

A.B.C.D.

【題目】已知函數，.

（1）若函數在區間上單調遞減，試探究函數在區間上的單調性；

（2）證明：方程在上有且僅有兩解.

【題目】隨著醫院對看病掛號的改革，網上預約成為了當前最熱門的就診方式，這解決了看病期間病人插隊以及醫生先治療熟悉病人等諸多問題；某醫院研究人員對其所在地區年齡在10～60歲間的位市民對網上預約掛號的了解情況作出調查，并將被調查的人員的年齡情況繪制成頻率分布直方圖，如下圖所示．

（Ⅰ）若被調查的人員年齡在20～30歲間的市民有300人，求被調查人員的年齡在40歲以上（含40歲）的市民人數；

（Ⅱ）若按分層抽樣的方法從年齡在以內及以內的市民中隨機抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行調研，求抽取的2人中，至多1人年齡在內的概率.

【題目】已知函數在定義域內有兩個不同的極值點.

（Ⅰ）求實數的取值范圍；

（Ⅱ）記兩個極值點為，且，求證：.