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專題三：數(shù) 列

【考點審視】

（本部分內(nèi)容是根據(jù)近幾年高考命題規(guī)律和趨勢透視本單元考查的重點.）

本章內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點之一，它既具有相對的獨立性，又具有一定的綜合性和靈活性，也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個重要的銜接點，因而歷來是高考的重點.

高考對本章考查比較全面,等差、等比數(shù)列，數(shù)列的極限的考查幾乎每年都不會遺漏.就近五年高考試卷平均計算，本章內(nèi)容在文史類中分數(shù)占13％，理工類卷中分數(shù)占11％，由此可以看出數(shù)列這一章的重要性.

本章在高考中常見的試題類型及命題趨勢：

（1）數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點，求數(shù)列的通項公式是最為常見的題目，要切實注意與的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在《考試說明》中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項”，近幾年命題嚴格按照《考試說明》，不要求較復(fù)雜由遞推公式求通項問題，例如2004年全國卷一?（15）、（22）.

（2）探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求.

（3）等差、等比數(shù)列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，例如2004全國高考?浙江卷?（3）、（17）（文）、（22）均考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，還有2004年全國高考?上海卷?（4）、（12）均有提及.

（4）求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和.

（5）將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.例如2003年全國高考?新課程卷?解答題（19）主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及遞推關(guān)系；2004年全國高考?上海卷?

解答題（）主要考查了等差數(shù)列及證明.

通過上述分析，在學(xué)習(xí)中應(yīng)著眼于教材的基本知識和方法，不要盲目擴大，應(yīng)著重做好以下幾方面：

（1）理解概念，熟練運算

（2）巧用性質(zhì)，靈活自如

【疑難點拔】

（解釋重點、難點及知識體系，尤其是考試中學(xué)生常見錯案分析.）

數(shù)列部分的復(fù)習(xí)分三個方面:①重視函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，重視方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用。②掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識以及可化為等差、等比數(shù)列的簡單問題，同時要重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運用。③要設(shè)計一些新穎題目，尤其是通過探索性題目，挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神，數(shù)列綜合能力題涉及的問題背景新穎，解法靈活，解這類題時，要教給學(xué)生科學(xué)合理的思維，全面靈活地運用數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)列部分重點是等差、等比數(shù)列，而二者在內(nèi)容上是完全平行的，因此，復(fù)習(xí)時應(yīng)將它們對比起來復(fù)習(xí)；由于數(shù)列方面的題目解法的靈活性和多樣性，在復(fù)習(xí)時，要啟發(fā)學(xué)生從多角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)；提倡一題多解，達到事半功倍的效果。

錯案分析：

例1.各項均為實數(shù)的等比數(shù)列的前項和記為，若，，則等于__________.

[錯解一], 或.

[錯因]將等比數(shù)列中成等比數(shù)列,誤解為成等比數(shù)列.

[錯解二]是等比數(shù)列,成等比數(shù)列其公比為,從而,得或,或,

或,或.

[錯因]忽視了隱含條件.

[正解]由題設(shè)得: ① , ②,

② ①得或（舍去），.

例2．已知數(shù)列的前項和為非零常數(shù)），則數(shù)列為（）

（A）等差數(shù)列（B）等比數(shù)列

（C）既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列（D）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

[錯解],，（常數(shù)），數(shù)列為等比數(shù)列.

[錯因]忽略了中隱含條件.

[正解]當時,,當時,,

,為常數(shù),但,數(shù)列從第二項起為等比數(shù)列,選C.

例3.某種細菌在培養(yǎng)過程中,每分鐘分裂一次(一個分裂成二個)經(jīng)過h這種細菌由一個可繁殖成_________個.

[錯解一]由題意每次分裂數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,公比為,共繁殖次,

個

[錯解二] 由題意每次分裂數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,公比為,共繁殖次,細菌由一個可繁殖成

[正解] 由題意知,每次分裂細菌數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,,公比,共分裂次,第次應(yīng)為,(個)

例4.一個球從高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半,當它第次著地時,共經(jīng)過了多少米?

[錯解]因球每次著地后跳回到原高度的一半,從而每次著地之間經(jīng)過的路程構(gòu)成一個等比數(shù)列,.

[錯因]每兩次著地之間經(jīng)過的路程應(yīng)為上、下路程之和;而第一次從落下時只有下的路程,應(yīng)單獨計算.

[正解].

例5.在等差數(shù)列中,已知,前項和為,且,求當取何值時, 有最大值,并求它的最大值.

[錯解]設(shè)公差為,, ,得

,即,,當時, ,

,當時,有最大值.

[錯因]僅解不等式是不正確的,應(yīng)解.

[正解]由,解得公差,

,,.

所以,當或時, 有最大值為.

[例6]一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學(xué)的費用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，當孩子歲上大學(xué)時，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為多少？

[錯解]年利率保持不變，每年到期時的錢數(shù)形成一等比數(shù)列，那么年時取出的錢數(shù)應(yīng)為以為首項，公比為的第項，即

[錯因]上述解法只考慮了孩子出生時存入的元，到年時的本息，而題目的要求是每年都要存入元。

[正解]不妨從每年存入的元到年時產(chǎn)生的本息入手考慮，出生時的元到年時變?yōu)?sub>，

歲生日時的元到歲時變?yōu)?sub>，……

歲時的元到歲時變?yōu)?sub>

從而知，如此存款到歲時取回的錢的總數(shù)應(yīng)為：

專題三：數(shù) 列

【經(jīng)典題例】

例1：已知下面各數(shù)列的前項的和為的公式，求數(shù)列的通項公式。

（1）且；

（2）若數(shù)列的前項和。

[思路分析]：

（1）當時，，

用累乘法、迭代法可求得。

（2）當時，，由于不適此式，所以。

[簡要評述]：由求的唯一途徑是，注意分類思想在本題中的應(yīng)用以及累乘、迭代等方法的應(yīng)用。

例2：等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。

[思路分析]：

方法一：利用等差數(shù)列的求和公式處理，由及得

，，依二次函數(shù)性質(zhì)可知，當時，取最大值，且最大值是。

方法二：數(shù)形結(jié)合處理，由等差數(shù)列的求和公式可得，

的圖象是開口向下的拋物線上的一群離散點，最高點的橫坐標為，

即最大，易求得最大值為。

方法三：利用等差數(shù)列的性質(zhì)處理，由可得

，又，從而，，，故最大。

[簡要評述]：數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此求最值問題就是一個重要題型，又因為等差數(shù)列前項和一般是不含常數(shù)項的二次函數(shù)，因此，求最大值可用二次函數(shù)法求之，也可根據(jù)對稱軸來判斷，由于數(shù)列的特殊性還可以把通項公式寫出來，由或來解決，特別注意，用（）時，若解得，是正整數(shù)時，說明中有為的項，因此前項和最大（最小）有兩項且它們相等。